6. клас
Цилиндър, конус, сфера и кълбо в 6. клас
Обемът на цилиндъра е лицето на основата, умножено по височината: V = π · r² · h. Конус със същите основа и височина има три пъти по-малък обем: V = π · r² · h : 3. За цилиндър с r = 3 см и h = 5 см обемът е π · 9 · 5 = 45π см³, а за такъв конус е 15π см³.
Задачко отваря през декември. Запиши се за ранен достъп.
Реши задачи: цилиндър, конус и сфера
8 задачи, една по една. При грешка има втори опит и подсказка, после решение стъпка по стъпка. Задача само с два възможни отговора (вярно или невярно) показва решението веднага. Нищо не се записва.
На кое тяло прилича по форма батерията за дистанционното?
Каква е развивката на цилиндър и конус?
Развивката на цилиндъра е правоъгълник и два кръга, а на конуса е кръгов сектор и един кръг.
Едната страна на правоъгълника е височината на цилиндъра, а другата е дължината на окръжността на основата, 2 · π · r. Затова околната повърхнина на цилиндъра е S = 2 · π · r · h.
Какво е образуваща на конус?
Отсечката от върха на конуса до точка от окръжността на основата. В цилиндъра образуващата е равна на височината, а в конуса е по-дълга от нея.
Височината h, радиусът r и образуващата l на конуса образуват правоъгълен триъгълник с хипотенуза l. При r = 3 см и h = 4 см образуващата е 5 см, а околната повърхнина е π · r · l = 15π см².
Каква е разликата между сфера и кълбо?
Сферата е само повърхността, а кълбото е тялото, оградено от нея, както при окръжността и кръга.
Лицето на сферата е S = 4 · π · r², а обемът на кълбото е V = 4 · π · r³ : 3. При r = 3 см и двете числа са 36π, но в различни единици: 36π см² и 36π см³.
Чести грешки
- Използва височината h вместо образуващата l в околната повърхнина на конуса.
- Забравя едната основа в пълната повърхнина на цилиндъра.
- В обема на кълбото повдига радиуса на квадрат вместо на трета степен.
- Замества π с 3,14, когато задачата иска отговор като число пред π.
Какво да направиш у дома за 5 минути
- Разрежете етикета на консерва по права линия и го разгънете: получава се правоъгълник, едната страна на който е обиколката на кутията.
- Направете фунийка от хартия и я разгънете: виждате развивката на околната повърхнина на конус.
- Питайте за предметите в кухнята на кое тяло приличат: чаша, фуния, портокал.
Примерни задачи с решения
Задача 1
Височината на цилиндър е 8 см, а диаметърът на основата му е 4 см. Колко е обемът на цилиндъра? Запиши отговора като число пред π.
Виж решението
- Обемът на цилиндъра е лицето на основата, умножено по височината: V = π · r² · h.
- Във формулите влиза радиусът: r = d : 2 = 4 : 2 = 2 см.4 : 2 = 2
- V = π · 2² · 8 = 32π см³.2² · 8 = 32
- Обемът на цилиндъра е 32π см³.
Отговор: 32
Задача 2
Диаметърът на основата на конус е 16 дм, а височината му е 6 дм. Колко е обемът на конуса? Запиши отговора като число пред π.
Виж решението
- Обемът на конуса е една трета от обема на цилиндър със същите r и h: V = π · r² · h : 3.
- Във формулата влиза радиусът: r = d : 2 = 16 : 2 = 8 дм.16 : 2 = 8
- V = π · 8² · 6 : 3 = 128π дм³.8² · 6 : 3 = 128
- Обемът на конуса е 128π дм³.
Отговор: 128
Задача 3
Лицето на сфера е 400π см². Колко сантиметра е диаметърът ѝ?
Виж решението
- 4 · π · r² = 400π, значи r² = 400 : 4 = 100.400 : 4 = 100
- 100 = 10², значи r = 10 см.10² = 100
- d = 2 · r = 2 · 10 = 20 см.2 · 10 = 20
- Проверка: 4 · π · 10² = 400π.4 · 10² = 400
Отговор: 20 см
Въпроси на родителите
Как се смята обем на цилиндър?
Умножаваме лицето на основата по височината: V = π · r² · h. Цилиндрична чаша с радиус 4 см и височина 10 см има обем π · 16 · 10 = 160π см³, тоест около 502 см³.
Какво значи „запиши отговора като число пред π“?
Че оставяме π като буква и пишем само числото пред него. Ако обемът е 64π см³, отговорът е 64. Така сметката е точна и не зависи от това дали π е 3,14 или 22/7.
Има ли сферата развивка?
Не. Сферата не може да се разгъне в равнина, без да се скъса или разтегне, за разлика от цилиндъра и конуса. Затова картите на Земята винаги изкривяват някои разстояния.
Виж още
По 10 минути на ден, точно на нивото на детето
В Задачко детето решава по една задача на екран, получава подсказка и обяснение при грешка, а ти виждаш по кои теми се затруднява. Отваряме през декември, а първите семейства го пробват преди всички.