7. клас
Уравнения, свеждащи се до линейни
Това са уравнения, които се решават, като се сведат до едно или две линейни уравнения. Най-честите са произведение, равно на нула, и уравнение с модул: (x - 4)(x + 1) = 0 има корени 4 и -1, защото произведението е 0, когато поне един множител е 0. При |x - 2| = 3 изразът в модула е 3 или -3, затова x = 5 или x = -1.
Задачко отваря през декември. Запиши се за ранен достъп.
Реши задачи: уравнения, свеждащи се до линейни
8 задачи, една по една. При грешка има втори опит и подсказка, после решение стъпка по стъпка. Задача само с два възможни отговора (вярно или невярно) показва решението веднага. Нищо не се записва.
Намери корените на уравнението (z - 3)(z - 11) = 0. Запиши ги в произволен ред.
Как се решава произведение, равно на нула?
Приравняваш на нула всеки множител поотделно и решаваш получените линейни уравнения. За (3x - 6)(x + 5) = 0 имаш 3x - 6 = 0 или x + 5 = 0, затова корените са 2 и -5.
Ако уравнението не е готово произведение, първо разлагаш на множители. При x² = 4x прехвърляш всичко вляво и изнасяш x: x(x - 4) = 0, корените са 0 и 4. Не дели двете страни на x, защото така губиш корена 0.
Как се решава уравнение с модул?
Първо оставяш модула сам от едната страна, после разглеждаш два случая: изразът в модула е равен на числото или на противоположното му. За 2 + |x + 1| = 6 получаваш |x + 1| = 4, затова x + 1 = 4 или x + 1 = -4, т.е. x = 3 или x = -5.
Модулът е разстояние до нулата и не може да е отрицателен. Затова |x - 7| = -2 няма решение, а |x - 7| = 0 има само един корен, 7.
Чести грешки
- Дели x² = 3x на x и намира само корена 3, а губи корена 0.
- При x² = 25 пише само 5 и забравя -5.
- Разглежда само единия случай на модула: от |x - 1| = 4 пише само x = 5, без x = -3.
- Търси корени на |x + 2| = -3, а модулът никога не е отрицателен, затова решение няма.
Какво да направиш у дома за 5 минути
- След всяко уравнение питай: „Колко корена намери и провери ли всеки от тях?“
- Нека детето обясни с думи какво значи |x| = 3: кои числа са на разстояние 3 от нулата.
- Когато види x² и x в едно уравнение, напомняй да не дели на x, а да изнесе x пред скоби.
Примерни задачи с решения
Задача 1
Намери корените на уравнението (2y + 12)(5y + 14) = 0. Запиши първо по-малкия.
Виж решението
- Произведението е равно на 0, ако поне един от множителите е равен на 0.2y + 12 = 0, 5y + 14 = 0
- Решаваме двете уравнения.2y = -12, y = -12 : 2 = -6; 5y = -14, y = -14 : 5 = -2,8
- Корените на уравнението са -6 и -2,8.
- Проверка:(2 · (-6) + 12) · (5 · (-6) + 14) = 0, (2 · (-2,8) + 12) · (5 · (-2,8) + 14) = 0
Отговор: −6; −2,8
Задача 2
Кои са корените на уравнението |4x + 2| = 8? Запиши първо по-малкия.
Виж решението
- Първи случай: 4x + 2 = 8.4x = 8 - 2 = 6, x = 6 : 4 = 1,5
- Втори случай: 4x + 2 = -8.4x = -8 - 2 = -10, x = -10 : 4 = -2,5
- Корените на уравнението са 1,5 и -2,5.
- Проверка: изразът в модула е 8 или -8.4 · 1,5 + 2 = 8, 4 · (-2,5) + 2 = -8
Отговор: −2,5; 1,5
Задача 3
Реши уравнението z² = 30z. Запиши корените в произволен ред.
Виж решението
- Прехвърляме 30z вляво с противоположен знак.z² - 30z = 0
- Изнасяме z пред скоби.z(z - 30) = 0
- Произведението е 0, ако z = 0 или z - 30 = 0. Корените на уравнението са 0 и 30.z = 0; z = 30
- Проверка:0² = 30 · 0, 30² = 30 · 30
Отговор: например 0, 30
Въпроси на родителите
Защо уравнение с модул има два корена?
Защото две противоположни числа имат една и съща абсолютна стойност: 3 и -3 са на разстояние 3 от нулата. Затова изразът в модула може да е равен на числото или на противоположното му. Само когато числото е 0, коренът е един.
Кога уравнението с модул няма решение?
Когато след като оставиш модула сам, от другата страна остане отрицателно число. Абсолютната стойност е неотрицателна, затова |2x + 1| = -4 няма решение.
Как изглеждат тези уравнения на НВО в 7. клас?
Като задачи с избор или с кратък отговор: да намериш корените на уравнение с модул или на произведение, равно на нула, или сбора от корените. Сред отговорите може да има и „Уравнението няма решение.“, затова винаги провери знака от другата страна на модула.
Виж още
По 10 минути на ден, точно на нивото на детето
В Задачко детето решава по една задача на екран, получава подсказка и обяснение при грешка, а ти виждаш по кои теми се затруднява. Отваряме през декември, а първите семейства го пробват преди всички.