7. клас
Правоъгълен триъгълник в 7. клас
Правоъгълният триъгълник има две свойства, които се ползват в много задачи: катетът срещу ъгъл от 30° е половината от хипотенузата, а медианата към хипотенузата също е половината от нея. Така при хипотенуза 18 см катетът срещу ъгъла от 30° е 9 см и медианата към хипотенузата е 9 см.
Задачко отваря през декември. Запиши се за ранен достъп.
Реши задачи: правоъгълен триъгълник
8 задачи, една по една. При грешка има втори опит и подсказка, после решение стъпка по стъпка. Задача само с два възможни отговора (вярно или невярно) показва решението веднага. Нищо не се записва.
В ΔABC ∢C = 90°, ∢B = 30° и AC = 14 см. Колко сантиметра е AB?
Колко е катетът срещу ъгъл от 30°?
Половината от хипотенузата. Ако в ΔABC ∢C = 90° и ∢A = 30°, катетът BC лежи срещу ∢A и е равен на AB : 2: при AB = 22 см BC = 11 см.
Важи и обратното: ако катет е половината от хипотенузата, ъгълът срещу него е 30°, а другият остър ъгъл е 60°. Внимавай да вземеш катета срещу ъгъла от 30°, а не другия.
Колко е медианата към хипотенузата?
Половината от хипотенузата. Средата M на хипотенузата е на равни разстояния от трите върха, затова MA = MB = MC.
Така медианата дели триъгълника на два равнобедрени триъгълника. Ако ∢A = 35°, то в ΔAMC ∢ACM също е 35°, а ∢BMC като външен ъгъл на ΔAMC е 70°.
Как се използва ъгълът от 30° в по-сложни задачи?
Като връзка между две страни, която записваш с неизвестно. Ако ∢C = 90°, ∢B = 30° и AB + AC = 27 см, катетът AC лежи срещу ∢B, затова AB = 2 · AC. Тогава 3 · AC = 27 см и AC = 9 см.
Чести грешки
- Взема половината от хипотенузата за катета до ъгъла от 30°, а не за катета срещу него.
- Прилага свойството на ъгъла от 30° в триъгълник, който не е правоъгълен.
- Смята медианата към катет като половината от хипотенузата: свойството е само за медианата към хипотенузата.
Какво да направиш у дома за 5 минути
- Вземете триъгълника от чертожните пособия с ъгли 30° и 60° и измерете катета срещу 30° и хипотенузата.
- Помоли детето първо да покаже с пръст коя страна лежи срещу дадения ъгъл.
- Питай: „Къде е средата на хипотенузата и колко е далеч от върха на правия ъгъл?“
Примерни задачи с решения
Задача 1
ΔABC е равнобедрен с основа AB и AC = BC = 10 см. Височината CH е 5 см. Колко градуса е ъгълът при върха ∢ACB?
Виж решението
- ΔAHC е правоъгълен (CH е височина), а катетът CH е половината от хипотенузата AC.10 : 2 = 5
- Затова ∢A = 30° (срещу CH, катет срещу ъгъл от 30°) и ∢B = ∢A = 30° (ΔABC е равнобедрен).
- ∢ACB = 180° - ∢A - ∢B = 120° (сбор на ъглите в триъгълник).180 - 30 - 30 = 120
Отговор: 120°
Задача 2
CM е медиана в правоъгълния ΔABC (∢C = 90°) и CM = 36 см. Намери хипотенузата AB.
Виж решението
- CM = AB : 2 (медиана към хипотенузата), затова AB = 2 · CM.2 · 36 = 72
- AB = 72 см.
- Проверка:72 : 2 = 36
Отговор: 72 см
Задача 3
В ΔABC ∢C = 90° и ∢B = 30°. AB + AC = 30 см. Колко сантиметра е AC?
Виж решението
- AC лежи срещу ∢B = 30°, затова AB = 2 · AC (катет срещу ъгъл от 30°).
- Тогава AB + AC = 3 · AC, т.е. AC = 30 : 3 = 10 см.30 : 3 = 10
- AC = 10 см.
- Проверка:2 · 10 + 10 = 30
Отговор: 10 см
Въпроси на родителите
Защо медианата към хипотенузата е половината от нея?
Защото правоъгълният триъгълник е половината от правоъгълник, а хипотенузата е негов диагонал. Диагоналите на правоъгълника са равни и се разполовяват, затова средата на хипотенузата е на равни разстояния от трите върха.
Важи ли свойството и за ъгъл от 60°?
Не пряко. Половината от хипотенузата е катетът срещу ъгъла от 30°, а катетът срещу ъгъла от 60° е по-дълъг. Ако е даден ъгъл от 60°, другият остър ъгъл е 30° и свойството се прилага за катета срещу него.
Има ли задачи с ъгъл от 30° на НВО в 7. клас?
Да. Ъгълът от 30° и медианата към хипотенузата се срещат в геометрични задачи, често заедно с равнобедрен триъгълник или със симетрала. Затова е полезно да разпознаваш правоъгълния триъгълник и когато е част от по-голяма фигура.
Виж още
По 10 минути на ден, точно на нивото на детето
В Задачко детето решава по една задача на екран, получава подсказка и обяснение при грешка, а ти виждаш по кои теми се затруднява. Отваряме през декември, а първите семейства го пробват преди всички.