7. клас
Разлагане на множители в 7. клас
Да разложиш многочлен на множители значи да го запишеш като произведение, например 10x² - 15x = 5x(2x - 3). Това е обратното на умножението: ако разкриеш скобите, трябва да получиш началния израз. В 7. клас се ползват три начина: изнасяне на общ множител, формулите за съкратено умножение и групиране.
Задачко отваря през декември. Запиши се за ранен достъп.
Реши задачи: разлагане на множители
8 задачи, една по една. При грешка има втори опит и подсказка, после решение стъпка по стъпка. Задача само с два възможни отговора (вярно или невярно) показва решението веднага. Нищо не се записва.
Изнеси пред скоби най-големия общ множител: 6x - 12 = □(□x + □).
Как се изнася общ множител пред скоби?
Търсиш най-големия общ делител на коефициентите и най-ниската степен на всяка обща буква. За 8a³ - 12a² това е 4a², затова 8a³ - 12a² = 4a²(2a - 3).
Ако някой член е равен на общия множител, в скобите на негово място остава 1: 6x² + 3x = 3x(2x + 1). Тази единица често се забравя.
Кога се разлага с формули?
Когато многочленът има вида на дясната страна на някоя формула. Разлика от квадрати: 9y² - 16 = (3y - 4)(3y + 4). Точен квадрат: a² + 14a + 49 = (a + 7)², защото 49 = 7², а 14a = 2 · a · 7.
Често първо се изнася общ множител, а после се прилага формула: 2x² - 50 = 2(x² - 25) = 2(x - 5)(x + 5).
Как се разлага чрез групиране?
Разделяш членовете на групи, изнасяш общ множител от всяка, а после изнасяш общата скоба. Например ab + 3a + 2b + 6 = a(b + 3) + 2(b + 3) = (b + 3)(a + 2). Ако скобите не излязат еднакви, опитай друго групиране.
Разлагането помага и при смятане: 37 · 64 + 37 · 36 = 37 · (64 + 36) = 37 · 100 = 3700.
Чести грешки
- Губи единицата: 4x² + 4x става 4x · x вместо 4x(x + 1).
- Изнася общ множител, който не е най-големият: 6a² - 9a = 3(2a² - 3a), а трябва 3a(2a - 3).
- Спира по средата: x³ - 9x = x(x² - 9), без да разложи и x² - 9 на (x - 3)(x + 3).
- Разлага сбор от квадрати като разлика: пише x² + 25 = (x + 5)(x - 5).
Какво да направиш у дома за 5 минути
- След всяко разлагане помоли детето да умножи обратно и да види дали се връща началният израз.
- Питай първо: „Има ли общ множител?“ С тази стъпка започва всяко разлагане.
- Започнете с израз като 5x + 5y и питайте как изглежда като произведение, после усложнявайте постепенно.
Примерни задачи с решения
Задача 1
Запиши 7a³ + 14a² във вида □a²(□a + □), като изнесеш пред скоби най-големия общ множител.
Виж решението
- НОД(7; 14) = 7, а най-ниската степен на a е a². Общият множител е 7a².
- Делим всеки член на 7a².7a³ : 7a² = a, 14a² : 7a² = 2
- Изнасяме 7a² пред скоби.7a³ + 14a² = 7a²(a + 2)
- Проверка при a = 2:7 · 2³ + 14 · 2² = 7 · 2² · (2 + 2)
Отговор: 7, 1, 2
Задача 2
За коя положителна стойност на b изразът x² + bx + 81 е квадрат на двучлен?
Виж решението
- 81 = 9², значи изразът може да е (x + 9)² или (x - 9)².81 = 9²
- (x + 9)² = x² + 18x + 81, затова положителното b е 18.(x + 9)² = x² + 18x + 81
- Проверка при x = 1:1² + 18 · 1 + 81 = (1 + 9)²
Отговор: 18
Задача 3
Разложи на множители xy - 2x + 4y - 8.
Виж решението
- Групираме членовете по двойки.xy - 2x + 4y - 8 = (xy - 2x) + (4y - 8)
- Изнасяме общия множител от всяка група.(xy - 2x) + (4y - 8) = x(y - 2) + 4(y - 2)
- Изнасяме общата скоба (y - 2).x(y - 2) + 4(y - 2) = (y - 2)(x + 4)
- Проверка при x = 2, y = 3:2 · 3 - 2 · 2 + 4 · 3 - 8 = (3 - 2) · (2 + 4)
Отговор: (y - 2)(x + 4)
Въпроси на родителите
С какво да започна, когато разлагам многочлен?
Винаги с проверка за общ множител. След това виж дали остатъкът е формула: разлика от квадрати или точен квадрат. Ако членовете са четири, опитай групиране.
Как да проверя, че съм разложил правилно?
Умножи множителите обратно. Ако получиш началния многочлен, разлагането е вярно. Провери и дали някой от множителите може да се разложи още.
Има ли разлагане на множители на НВО в 7. клас?
Да. Срещат се задачи с избор на кой израз е тъждествено равен даден многочлен или кой множител не участва в разлагането му, както и изрази, които първо се опростяват, а после се пресмятат за голяма стойност на буквата. Разлагането трябва и за уравнения от вида x² = 5x.
Виж още
По 10 минути на ден, точно на нивото на детето
В Задачко детето решава по една задача на екран, получава подсказка и обяснение при грешка, а ти виждаш по кои теми се затруднява. Отваряме през декември, а първите семейства го пробват преди всички.