7. клас
Ъгли в триъгълник
Сборът на ъглите във всеки триъгълник е 180°, затова третият ъгъл намираш, като извадиш другите два от 180°: при ∢A = 50° и ∢B = 75° ъгълът ∢C е 55°. Външният ъгъл е равен на сбора на двата вътрешни ъгъла, които не са съседни на него: тук външният ъгъл при C е 50° + 75° = 125°.
Задачко отваря през декември. Запиши се за ранен достъп.
Реши задачи: ъгли в триъгълник
8 задачи, една по една. При грешка има втори опит и подсказка, после решение стъпка по стъпка. Задача само с два възможни отговора (вярно или невярно) показва решението веднага. Нищо не се записва.
Два от ъглите на ΔABC са ∢A = 57° и ∢C = 21°. Намери ∢B.
Как се намират ъглите, ако се отнасят като числа?
Означаваш ъглите с частите, умножени по x, и използваш, че сборът е 180°. При ∢A : ∢B : ∢C = 2 : 3 : 7 имаш 2x + 3x + 7x = 180°, т.е. 12x = 180°, x = 15°, а ъглите са 30°, 45° и 105°.
В правоъгълен триъгълник двата остри ъгъла имат сбор 90°. Ако единият е 28°, другият е 62°.
Какво е външен ъгъл на триъгълник?
Това е ъгълът, съседен на вътрешен ъгъл на триъгълника, който се получава, като продължиш една от страните. Той е 180° минус вътрешния до него и е равен на сбора на другите два вътрешни ъгъла.
Затова, ако външният ъгъл при B е 110°, а ∢A = 40°, то ∢C = 110° - 40° = 70°, без да смяташ ∢B.
Каква е разликата между медиана, ъглополовяща и височина?
Медианата свързва връх със средата на срещуположната страна, ъглополовящата дели ъгъла на две равни части, а височината е перпендикулярна на срещуположната страна или на продължението ѝ. В задачите с ъгли ъглополовящата дава половин ъгъл, а височината дава прав ъгъл и нов правоъгълен триъгълник.
Пример: в ΔABC ∢A = 60°, ∢B = 80°, а CL е ъглополовяща. Тогава ∢C = 40°, ∢ACL = 20° и ∢ALC = 180° - 60° - 20° = 100°.
Чести грешки
- Събира за външния ъгъл съседния му вътрешен ъгъл, вместо двата несъседни.
- Бърка медиана с ъглополовяща и дели страната, когато трябва да раздели ъгъла.
- Намира x от отношението и забравя да умножи: пише 15° за всеки от ъглите.
- Не вижда, че височината дава ъгъл от 90° и нов правоъгълен триъгълник.
Какво да направиш у дома за 5 минути
- Изрежете хартиен триъгълник, откъснете трите ъгъла и ги наредете един до друг: заедно правят изправен ъгъл.
- Помоли детето за всяко число на чертежа да каже откъде го знае.
- Питай: „Може ли триъгълник да има два тъпи ъгъла?“ Нека обясни защо не може.
Примерни задачи с решения
Задача 1
Ъглите на ΔABC се отнасят ∢A : ∢B : ∢C = 11 : 2 : 5. Намери ъглите.
Виж решението
- Означаваме ъглите с 11x, 2x и 5x. Сборът им е 180°, а 11x + 2x + 5x = 18x.11 + 2 + 5 = 18
- 18x = 180°, затова x = 180° : 18 = 10°.180 : 18 = 10
- Умножаваме: ∢A = 11x = 110°, ∢B = 2x = 20°, ∢C = 5x = 50°.11 · 10 = 110, 2 · 10 = 20, 5 · 10 = 50
- Проверка:110 + 20 + 50 = 180
Отговор: 110, 20, 50
Задача 2
В ΔABC външният ъгъл при върха B е 93° и ∢C = 24°. Намери ∢A.
Виж решението
- Сборът ∢A + ∢C е равен на външния ъгъл при B (външен ъгъл), затова ∢A = 93° - ∢C.93 - 24 = 69
- ∢A = 69°.
- Проверка:180 - 93 = 87, 69 + 87 + 24 = 180
Отговор: 69°
Задача 3
CL е ъглополовяща в ΔABC (L е на AB), ∢A = 43° и ∢B = 109°. Намери ∢ALC.
Виж решението
- ∢C = 180° - ∢A - ∢B (сбор на ъглите в триъгълник).180 - 43 - 109 = 28
- ∢ACL = ∢C : 2 (CL е ъглополовяща).28 : 2 = 14
- ∢ALC = 180° - ∢A - ∢ACL = 123° (сбор на ъглите в ΔALC).180 - 43 - 14 = 123
- Проверка: ∢BLC = 180° - ∢ALC (съседни ъгли), а в ΔBLC сборът на ъглите е 180°.180 - 123 = 57, 109 + 14 + 57 = 180
Отговор: 123°
Въпроси на родителите
Защо сборът на ъглите в триъгълник е 180°?
Ако през един връх прекараш права, успоредна на срещуположната страна, при този връх се получават три ъгъла, които заедно правят изправен ъгъл. Двата крайни са равни на другите два ъгъла на триъгълника като кръстни ъгли, затова и трите ъгъла на триъгълника дават 180°.
Колко външни ъгъла има триъгълникът?
При всеки връх има по два външни ъгъла. Те са противоположни, затова са равни, и в задачите се говори просто за външния ъгъл при даден връх. Сборът на по един външен ъгъл при всеки връх е 360°.
Какви задачи за ъгли в триъгълник има на НВО?
Срещат се задачи, в които ъглите на триъгълника са дадени чрез отношение, и задачи с височина и ъглополовяща от един връх, в които се търси ъгълът между тях. Решават се с няколко кратки стъпки, ако всяко равенство има своята причина.
Виж още
По 10 минути на ден, точно на нивото на детето
В Задачко детето решава по една задача на екран, получава подсказка и обяснение при грешка, а ти виждаш по кои теми се затруднява. Отваряме през декември, а първите семейства го пробват преди всички.