7. клас
Формули за съкратено умножение
Формулите за съкратено умножение са готови резултати от умножението на някои двучлени, за да не ги умножаваш всеки път член по член. Най-използваната е квадратът на сбор: (a + b)² = a² + 2ab + b², например (x + 5)² = x² + 10x + 25. В 7. клас се учат седем такива формули.
Задачко отваря през декември. Запиши се за ранен достъп.
Реши задачи: формули за съкратено умножение
8 задачи, една по една. При грешка има втори опит и подсказка, после решение стъпка по стъпка. Задача само с два възможни отговора (вярно или невярно) показва решението веднага. Нищо не се записва.
Приведи в нормален вид: (z + 6)² = z² + □z + □.
Кои са формулите за съкратено умножение?
Те са седем и всяка може да се провери с обикновено умножение на многочлени. Първите три се ползват най-често:
- (a + b)² = a² + 2ab + b²
- (a - b)² = a² - 2ab + b²
- (a + b)(a - b) = a² - b²
- (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
- (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
- (a + b)(a² - ab + b²) = a³ + b³
- (a - b)(a² + ab + b²) = a³ - b³
Как да не бъркам квадрата на сбор и на разлика?
Квадратът на двучлен винаги има три члена: двата квадрата и удвоеното произведение. Затова (a + b)² не е a² + b². Пример: (3x - 2)² = 9x² - 12x + 4, защото (3x)² = 9x², 2 · 3x · 2 = 12x и 2² = 4.
Правилото за знаците е кратко: квадратите са винаги с плюс, а знакът пред удвоеното произведение е същият като знака в скобите.
Как помагат формулите при смятане наум?
Те превръщат трудно умножение в лесно, когато числата са близо до кръгло число. 49² = (50 - 1)² = 2500 - 100 + 1 = 2401, а 61 · 59 = (60 + 1)(60 - 1) = 3600 - 1 = 3599.
Работят и в обратна посока: 73² - 27² = (73 - 27)(73 + 27) = 46 · 100 = 4600.
Чести грешки
- Пише (a + b)² = a² + b² и пропуска удвоеното произведение.
- Пише ab вместо 2ab: (x + 4)² = x² + 4x + 16.
- Не повдига коефициента на квадрат: (2x)² = 2x² вместо 4x².
- Разменя знаците в разлика на кубове: пише a³ - b³ = (a - b)(a² - ab + b²).
Какво да направиш у дома за 5 минути
- Помоли детето да напише една формула и да я провери, като умножи скобите член по член.
- Давай по едно число като 39² или 21 · 19 и питай коя формула помага да се сметне наум.
- Проверявайте формулите с a = 1 и b = 2: двете страни трябва да дават едно и също число.
Примерни задачи с решения
Задача 1
Запиши (15 - t)² като многочлен: t² + □t + □.
Виж решението
- По формулата (a - b)² = a² - 2ab + b² с a = 15 и b = t.(15 - t)² = 15² - 2 · 15 · t + t²
- Пресмятаме всеки член и подреждаме по степените на t.15² - 2 · 15 · t + t² = t² - 30t + 225
- Проверка при t = 1:(15 - 1)² = 1 - 30 + 225
Отговор: −30, 225
Задача 2
Запиши (5z + 11)(5z - 11) във вида □z² + □.
Виж решението
- По формулата (a + b)(a - b) = a² - b² с a = 5z и b = 11.(5z + 11)(5z - 11) = (5z)² - 11²
- Пресмятаме квадратите.(5z)² - 11² = 25z² - 121
- Проверка при z = 1:(5 · 1 + 11) · (5 · 1 - 11) = 25 - 121
Отговор: 25, −121
Задача 3
Запиши (z + 4)³ във вида z³ + □z² + □z + □.
Виж решението
- По формулата за куб на сбор с a = z и b = 4.(z + 4)³ = z³ + 3 · z² · 4 + 3 · z · 4² + 4³
- Пресмятаме всеки член.z³ + 3 · z² · 4 + 3 · z · 4² + 4³ = z³ + 12z² + 48z + 64
- Проверка при z = 1:(1 + 4)³ = 1 + 12 + 48 + 64
Отговор: 12, 48, 64
Въпроси на родителите
Трябва ли формулите да се знаят наизуст?
Да, но не само като текст. Детето трябва да ги разпознава и в обратна посока, например да види, че x² - 6x + 9 е (x - 3)². Тогава формулите помагат и при разлагането на множители.
Каква е разликата между тъждество и уравнение?
Тъждеството е равенство, вярно за всяка стойност на буквите, като (a + b)(a - b) = a² - b². Уравнението е вярно само за някои стойности, корените му. Формулите за съкратено умножение са тъждества.
Как се срещат формулите на НВО в 7. клас?
Като задача с избор: на кой от изразите е тъждествено равен даден израз. Среща се и числов израз с големи числа, който се пресмята лесно само ако разпознаеш формулата в него. Затова е важно формулите да се четат и в двете посоки.
Виж още
По 10 минути на ден, точно на нивото на детето
В Задачко детето решава по една задача на екран, получава подсказка и обяснение при грешка, а ти виждаш по кои теми се затруднява. Отваряме през декември, а първите семейства го пробват преди всички.